第一百八十章用世界級數學難題來檢驗自己的學習

大國院士 第一百八十章用世界級數學難題來檢驗自己的學習

向德利涅教授請了一周的假期后，徐川潛在宿舍中整理著米爾扎哈尼教授留給他的稿紙。

這次整理，就不是粗略的過一遍了。

而是詳細的去學習這些稿件中的知識，將其吸收轉化成自己的智慧。

一名菲爾茲獎臨終前的遺留，盡管只是一部分，也足夠一個普通的數學家研究數年甚至是半生了。

對于徐川而言，這些遺留的稿紙中的計算并不是什么珍貴的東西，有數學基礎，很多人都能計算推衍出來。

但這些公式與筆跡中遺留的思想和數學方法與路線，卻彌足珍貴。

這些東西，哪怕還未成型，僅僅只是一些思路，也是很多數學家終一生都不見得能做出來的成果。

畢竟在所有的自然科學中，若要說依賴天賦的程度，數學無疑是站在金字塔尖的獨一檔。

哪怕是物理和化學，在依賴天賦的程度上都略遜色于數學。

可以說沒有什么其他學科比數學更吃天賦了。

這是一門需要強大邏輯思維才能‘真正’學好的科目。

數學問題往往需要你發揮一定的創造力，從而解決陌生的問題。

如果老師的水平不夠，而你又沒能自己找到正確的方法和方向，很有可能白努力，越學越崩潰。

不止要有正向思維還要有逆向思維，在每個知識類別都有很多的公式，而這些公式之間卻還有著巧妙的聯系；記憶、計算、論證、空間、靈活、轉變、各種你能在其他科目上找到的技巧幾乎全部都會在數學上體現。

很多網友說，被數學支配的恐懼與年齡無關，從小時候自己學習怕，長大后輔導孩子依舊還怕。

也有網友說，人被逼急了什么事都能做得出來，數學題除外。

盡管這只是一些玩笑話，但數學確實是一門沒有天賦、無法學好的學科。

或許你能在大學之前，依靠各種題海戰術，名師的講解拿到高考的滿分，但進入大學或者更深入的學習后，你很快就會跟不上節奏。

哪怕花費再多的時間，盡最大努力，也不一定能理解某些數學主題的含義，也無法學習應用那些比高中更復雜的定理和公式。

比如勾股定理，這是進入初中就會學習的東西。

勾三股四弦五。

這是很多人的回憶。

然而很多人也就記住了這一句，這是最常見的勾股數。

但是后面呢？

這些是最最最基礎的數學，也不知道還有多少人記得。

恐怕十分之一的人都沒有，更別提與勾股數相關聯的其他數學公式定理與數據了。

如果在數學上沒有天賦，學習起數學來，恐怕會相當痛苦。

那種一堂課掉了一支筆，撿起來后，數學就再也沒跟上過節奏的，也不是什么離奇的事情。

宿舍中，徐川一邊整理著米爾扎哈尼教授留給他的稿紙，同時也在整理著自己近半年來所學習的一些知識。

“代數幾何的一個基本結果是：任意一個代數簇可以分解為不可約代數簇的并。這一分解稱為不可縮的，如果任意一個不可約代數簇都不包含在其他代數簇中。”

“而在在構造性代數幾何中，上述定理可以通過ritt吳特征列方法構造性實現，設s為有理系數n個變量的多項式集合，我們用zero(s)表示s中多項式在復數域上的公共零點的集合，即代數簇。”

“如果通過變量重新命名后可以寫成如下形式：

a(u，···，uq，y)iydy的低次項；

a(u，···，uq，y，y2)iydy的低次項；

“ap(u，···，uq，y，···，yp)ipypyp的低次項。”

“設as{a1···，ap}、j為ai的初式的乘積.對于以上概念，定義sat(as){p存在正整數n使得jnp∈(as)}.”

稿紙上，徐川用圓珠筆將腦海中的一些知識點重新寫了一遍。

今年上半年，他跟隨著的德利涅和威騰兩位導師，學到了相當多的東西。

特別是在數學領域中的群構、微分方程、代數、代數幾何這幾塊，可以說極大的充實了自己。

而米爾扎哈尼教授留給他的稿紙上，有著一部分微分代數簇相關的知識點，他現在正在整理的就是這方面的知識。

眾所周知，代數簇是代數幾何里最基本的研究對象。

而在代數幾何學上，代數簇是多項式集合的公共零點解的集合。歷史上，代數基本定理建立了代數和幾何之間的一個聯系，它表明在復數域上的單變量的多項式由它的根的集合決定，而根集合是內在的幾何對象。

20世紀以來，復數域上代數幾何中的超越方法也有重大的進展。

例如，德·拉姆的解析上同調理論，霍奇的調和積分理論的應用，小平邦彥和斯潘塞的變形理論等等。

這使得代數幾何的研究可以應用偏微分方程、微分幾何、拓撲學等理論。

而這其中，代數幾何的核心代數簇也被隨之應用到其他領域中，如今的代數簇已經以平行推廣到代數微分方程，偏微分方程等領域。

但在代數簇中，依舊有著一些重要的問題沒有解決。

其中最關鍵的兩個分別是‘微分代數簇的不可縮分解’和‘差分代數簇的不可約分解’。

盡管ritt等數學家早在二十世紀三十年代就已經證明：任意一個差分代數簇可以分解為不可約差分代數簇的并。

但是這一結果的構造性算法一直未能給出。

簡單的來說，就是數學家們已經知道了結果是對的，卻找不到一條可以對這個結果進行驗算的路。

這樣說雖然有些粗糙，但卻是相當合適。

而在米爾扎哈尼教授的稿紙上，徐川看到了這位女菲爾茲獎得主朝這方面努力的一些心得。

應該是受到了此前他在普林斯頓交流會上的影響，米爾扎哈尼教授在嘗試給定兩個不可約微分升列as1，as2，判定sat(as1)是否包含sat(as2)。

這是‘微分代數簇的不可縮分解’的核心問題。

熟悉了整個稿紙，并且跟隨德利涅教授在這方面深入學習過的他，很容易的就理解了米爾扎哈尼教授的想法。

在這個核心問題中，米爾扎哈尼教授提出了一個不算全新卻也新穎的想法。

她試圖通過構建一個代數群、子群和環面，來進一步做推進。

而建立這些東西所使用的靈感和方法，就來源于他之前在普林斯頓的交流會以及weylberry猜想的證明論文上。

“很巧妙的方法，或許真的能將代數簇推廣到代數微分方程上面去，可能過程會稍微曲折了一點”

盯著稿紙上的筆跡，徐川眼眸中流露出一絲興趣，從桌上扯過一張打印紙，手中的圓珠筆在上面記錄了起來。

“微分代數簇的不可縮分解問題從廣義上來講，其實已經被ritt吳分解定理包含在內了。”

“但是ritt吳分解定理在有限步內構造不可約升列ask，并構建了諸多的分解，而在這些分解中，有些分支是多余的.要想去掉這些多余分支，就需要計算sat(as)的生成基了。”

“因為歸根到底，它最終可降解為ritt問題。即：a是含有n個變量的不可約微分多項式，判定(0，···，0)是否屬于zero(sat(a))。”

手中的圓珠筆，一字一句的將心中的想法鋪設在打印紙上。

這是開始解決問題前的基本工作，很多數學教授或者科研人員都有這樣的習慣，并不是徐川的獨有習慣。

將問題和自己的思路、想法清晰的用筆紙記錄下來，然后詳細的過一遍，整理一邊。

這就像是寫之前寫大綱一樣。

它能保證你在完結手中的書籍前，核心劇情都是一直圍繞主線來進行的；而不至于離譜到原本是都市文娛文，寫著寫著就修仙去了。

搞數學比寫稍稍好一點，數學不怕腦洞，怕的是你沒有足夠的基礎知識和想法。

在數學問題上，偶爾一現的靈感和各種奇思妙想相當重要，一個靈感或者一個想法，有時候就可能解決一個世界難題。

當然，因為錯誤的想法，而將自己的研究陷入死路的也不少。

放到網文圈，這大抵就是寫了一輩子，撲了一輩子還是個簽約都難的小菜鳥，或者說寫了無數本，百萬字之前必定蹦書那種。

將腦海中的思路整理出來后，徐川就暫時先放下了手中的圓珠筆。

代數簇相關的東西，僅僅是米爾扎哈尼教授留給他的稿紙上的一部分知識而已。他現在要做的是將這幾十張稿紙全都整理出來，而不是一頭扎進新的問題研究中。

盡管這個問題撓的他心頭有些癢癢，恨不得現在就開始研究，但做事還是得有始有終。

花費了幾天的時間，徐川妥善的將米爾扎哈尼教授留給他的稿紙全都整理了出來。

三四十頁稿紙，看起來很多，真正的整理完成后，用不到五頁紙就記錄完整了。

原稿紙上真正精髓的想法和知識點其實并不多，多的是一些米爾扎哈尼教授隨筆的計算數據，有用的主體基本都來源于weylberry猜想的證明論文上使用的方法。

當然，米爾扎哈尼教授的學識肯定不止這點，但兩人的交集就這點。

米爾扎哈尼教授能將這些東西遺留給他，徐川心里很感激。

因為這些稿紙，她完全可以留給自己的學生或者后人。

依照這些東西，如果繼承者有一定能力的話，是有很大的概率是能繼續在這上面做出些成績出來的。

但米爾扎哈尼教授并沒有私心，反而將這些東西送給了他這個僅僅見過一兩面的‘陌生人’。

這大抵就是學術界的光輝吧。

將有用的東西整理出來后，徐川小心的將米爾扎哈尼教授留給他的原稿紙收納起來，放進專門存放重要資料的書柜中。

這些東西，用再尊重的態度去對待都不為過，而且將來回國的時候，他必定會帶回去。

處理完這些，徐川重新坐回了桌前。

像德利涅教授請的假還有兩天的時間，與其提前回去，不如利用這個時間對‘微分代數簇的不可縮分解’問題做一下嘗試。

這個問題的確很難，但是ritt吳分解定理已經將相應的微分代數簇分解為不可約微分代數簇，剩下的，就是進一步得到不可縮分解了。

如果在沒有得到米爾扎哈尼教授的遺留前，他大抵是不會有朝這方面研究的想法的。

原本他的目標是朗蘭茲綱領中的自守形式與自守l函數，但現在，原先的目標稍稍放一下也沒有關系。

而且‘微分代數簇的不可縮分解’領域是他今年上半年和德利涅教授學習的數學領域之一。

就用這個問題，來檢驗一下他的學習成果好了。

想著，徐川嘴角揚起了一抹自信的笑容。

用一個世界級的數學難題，來當做學習成果的檢測題，這種話說出去大概率會被其他人當做狂妄自大。

但他有這樣的自信。

這不是這輩子學習數學帶來的，而是上輩子一路攀登高峰養成的。

從桌上取過一疊稿紙，徐川將之前整理出來的思路又看了一遍，而后沉吟了一下，轉動了手中的圓珠筆。

“引入：設k是一個域，假設k是代數閉的，設g是k上的連通約化代數群，設y是g的borel子群的簇，設b∈y，設t是b的極大環面，設n是g中t的正規化子，設wn/t是weyl群”

“對于任何˙b，其中w∈n代表w”

“設c∈w，設d(l(w)；w∈

“存在唯一的γ∈g，使得γngw之類的

每當γj∈g，γjngw，有γγj。且，γ只取決于c”