第24章 四重奏

致暗頻率 第24章 四重奏

2020年夏，旅芝國首都，拉維港

“玉汗人特別狡猾，其情報局又人才濟濟，想騙過他們很不容易。”勒夫看了看頻頻點頭的凱茲，轉過身繼續向沙姆隆二世匯報：

“我和凱茲商量之后，結合他這個標準理工男的特點，制定了一個引誘玉汗人上鉤的計劃。”

“如果我們把凱茲派到國外，與他的特長和工作性質明顯不符，很難不被懷疑。但在拉維港，若是面對面被策反，簡直是天方夜譚。所以，我們希望引誘玉汗人通過互聯網策反凱茲。”勒夫繼續分析道：

“凱茲是‘銅墻’導彈防御系統的核心設計師之一，我們相信他一定在玉汗人的關注名單之中。最近凱茲被處分，玉汗人也一定注意到了。”

“你們是想讓玉汗人在暗網上，主動聯系凱茲？”沙姆隆二世問道。

“是的，我是個程序員，也是一個科學愛好者，我匿名在暗網上活動，但有意讓有心人可以破解并追蹤到我家的 IP地址。”凱茲胸有成竹地說道。

“我們計劃讓凱茲上一個程序員們做腦力體操的論壇。由凱茲主動發布燒腦的帖子，相信跟帖中一定會有玉汗國特工。”勒夫說道。

“嗯，然后你們在跟帖中選擇聊天對象，再通過聊天找到目標？”

三人互望著，笑了。

所謂的暗網，不是指某一個具體的網站，而是對可匿名又很難追蹤的網絡的統稱。

通常資深玩家都是網絡高手，甚至是黑客級別的骨灰級玩家。

見不得光的黃賭毒、買兇買槍當然會首選暗網。

但上暗網的也不全是壞人，很多工作壓力大、社恐的程序員就很喜歡在其間發布一些燒腦的問題，等待高手破解。

勒夫看著凱茲熟練地敲擊著鍵盤，定義他的住所 IP地址為底層之后，做了層層加密處理。

凱茲轉來轉去之后，終于打開了對話框，輸入了他的網名：

“log⁡(n)-費馬檢驗的四重奏”。

凱茲悠閑地從椅子上站起來，走到窗口開窗透氣。

勒夫一臉不解，問道：

“你怎么光輸入名字，不出謎題呢？這怎么引人上鉤呀？”

凱茲神秘地笑了，說：

“我的網名就是謎題，等著吧。”

玉汗國高原城

哈米德叫來了巴希爾和羅珊娜，布置了任務：

“旅芝國‘銅墻’防御系統的核心設計者之一凱茲，因錯被罰，很可能心存不滿。情報中心發現他今天登陸了一個暗網，你們通過匿名身份，跟他聊聊，試探一下。”

“‘銅墻’系統核心設計者？旅芝人受再大的委屈，也不可能投靠我們吧？”巴希爾搖著頭表示懷疑。

“我也覺得不可能，但是，旅芝國技術特工上暗網本身就不正常，我們可不是那么好騙的，邊聊邊分析吧。”羅珊娜點頭贊同巴希爾的意見，接著對哈米德說：

“老爸，把網址和他的網名、聊天記錄給我們吧。”

“沒有聊天記錄，只有一個網名，log⁡(n)-費馬檢驗的四重奏。”哈米德忍不住笑著說道。

“有意思，巴希爾，這是你的強項，應該是一個關于數論的謎題吧？”羅珊娜對巴希爾眨了一下眼睛，充滿期待地看著他。

巴希爾邊思考，邊給羅珊娜講解。

費馬是著名的業余數學家，他被全世界記住和熟悉，主要是因為看似簡單的費馬大定理，困擾了數學界將近300年，直到1995年才被證明。

而費馬小定理雖然沒有那么高的知名度，但其對于數論和密碼學的貢獻是毫不遜色的，可以說是研究素數的基礎。

所有的素數都滿足費馬小定理，但反過來，滿足費馬小定理的整數卻不一定是素數，這些不是素數的整數被稱為偽素數。

現代密碼學離不開素數，密碼編制者可以任意使用兩個很大的已知素數A和B，可以很容易得到乘積C。

發送密碼的人只需發出C，就是我們熟悉的所謂“公鑰”。

截獲C的任何人想要知道A或B，除非有密碼本，否則，就需要用非常大的計算量，進行困難的整數分解。

當C足夠大時（比如2^1024），整數分解需要數月甚至數年的計算時間，也就達到了保密的目的。

為了確保A和B是素數（否則，分解難度會指數級減小），素數判定問題就成為數論和密碼學研究的一個緊迫的課題。

使用計算機檢驗一個大整數n是否是素數，有很多種方法。無論哪一種方法的目標都是盡可能縮短檢驗時間。

密碼學中使用的整數n特別大，即使用計算機，計算次數也不能與n相關（位數會擠爆內存），最多只能與log⁡(n)相關。

2002年，三位數學家證明了在多項式時間log^12⁡(n)之內，后來優化為log^7.5⁡(n)，可以對任意整數n進行確定性的素性檢驗。

該檢驗方法以三位數學家的姓氏首字母命名為AKS檢驗法。

遺憾的是該檢驗方法消耗的計算機內存過大，無法上機實用。只能停留在論文層面。

目前，應用于軍事、通訊、金融的密碼，底層的素性檢驗程序使用的是概率檢驗法。

比較流行的算法是基于米勒-拉賓檢驗的復合算法。

由于費馬偽素數數量太多了，不能僅使用費馬小定理進行素性檢驗用于加密。

巴希爾的介紹讓哈米德昏昏欲睡，他連忙收住話頭，指著那個奇怪的網名說：

“作為數論研究，有些數學愛好者仍然利用費馬檢驗，探尋整數的極為有趣的性質。比如我曾經看到過一個有意思的猜想。”巴希爾接著說：

“對任意整數n從二進制到log⁡(n)向下取整進位制，進行費馬檢驗，能夠通過檢驗的偽素數除卡邁克爾數之外，必有n=(a+1)(2a+1)的形式。”

“有愛好者在互聯網發帖，公布了2^64以內的47個偽素數，均滿足上述猜想。”

“其中最小的n=242017633321201=11000401×22000801。”

“這47個數的兩個因子都是素數嗎？”羅珊娜好奇地問道。

“你說到關鍵了，按照猜想，a+1可以是素數也可以是合數。如果我沒記錯，其中46個數都只有兩個素因子，只有一個n的 a+1是三因子合數，2a+1是個素數，這個n是由四個素因子組成的合數。”

羅珊娜終于聽明白了，問道：

“四重奏指的是四個素因子？對于小于2^64所有整數進行費馬檢驗，進位制從2至log (n)，能通過檢驗的非卡邁克爾數的偽素數只有一個四因子合數。這個滿足條件的最小的四因子合數到底是哪個數呀？”

巴希爾打開自己的電腦，從夾中找到了包含47個數的表格，把那個唯一的四因子偽素數抄在了黑板上：

n=168562580058457201=103×307×9181×580624801

其中， a+1=103×307×9181=290312401。

“這就是log⁡(n)-費馬檢驗的四重奏！”巴希爾得意地說道。

哈米德贊許地看著巴希爾問道：

“你們給那個凱茲回復的內容就是這四個數字，對吧？”

巴希爾點頭表示認可，羅珊娜若有所思地說道：

“回復這四個數字僅僅是解開了他出的謎題，為了使聊天進行下去，我們也需要起一個自帶謎題的網名，考考他。”

“這個有意思。”巴希爾將網名輸入欄空著，在下面輸入了聊天內容：

“103，307，9181，580624801”

巴希爾將鍵盤推給了羅珊娜，頑皮地做了一個請的動作。羅珊娜想了想，在網名欄中輸入：

“O(√n ln⁡(n))-黎曼猜想的三和弦。”