第一百四十八章 緣冪勢既同,則積不容異

朕真的不務正業 第一百四十八章 緣冪勢既同,則積不容異

“緣冪勢既同，則積不容異。”朱載堉將一句話拿了出來，面色凝重的說道：“要理解這句話的意思，是非常困難的。”

這句話的意思是，等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等。

朱載堉拿出了兩個立方體，第一個是正立方體，一個是球，這個正立方體的邊長是球的直徑，他將兩個小球遞給了張宏給陛下查驗后，才開口說道：“這是從一個錯誤開始的。”

“九章算術中說：黃金方寸重十六兩，金丸徑寸重九兩，率生于此，未曾驗也。就是說邊長為一寸的金屬球重為十六兩，而直徑為一寸的球體，為九兩。”

“進而我們得到了一個球體公式，也就是V9/16d。”

“這個公式自從周朝就開始用了，《周官·考工記》：朅氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然后權之，權之然后準之，準之然后量之。”

朱翊鈞聽聞之后，疑惑的問道：“用實際測量的方法算出的球體公式，誤差有多少呢？”

張居正拿過了算盤噼里啪啦的打了下，解答道：“9/16π/6≈0.038901，顯而易見，差別不是很大，但是算學就是如此，不對就是不對。”

朱載堉繼續說道：“是以九與十六之率，偶與實相近，而丸猶傷耳，按9/16的比率，來計算球和外切立方體體積時，則球的體積較實際多一些，多多少？多0.038倍左右。”

“我們之前在割圓的時候就講到過，割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”

“就是說，點構成了線，線構成了面，這也是面積口訣得到的基本原理。”

“我們知道一個圓的面積等于外切正方形面積的π/4，1300年前，劉徽思索能不能找到一個立方體，讓這個立方體不管從哪里去切，它的橫截面，都是一個圓和外切正方形呢？”

“劉徽設計了一個這樣的立方體，名字叫牟合方蓋，牟相同，合蓋上，方，就是說這個立方體的每一個面的橫截面都是正方形，蓋雨傘，它的形狀是兩個方形的雨傘，扣在一起，正好和球完全相切。”

“劉徽將兩個底面半徑相同的圓柱體相交，然后將公共部分截取出來，得到了這個立方體。”

“這個時候，只要求出這個立方體的體積，乘以π/4，就得到了球的體積。”

“可惜，劉徽始終無法求出這個立方體的體積，說：陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者，期許后人的智慧了。”

朱翊鈞拿到了牟合方蓋，這是朱載堉做的教具，得益于大明工匠們的巧手，將兩個圓柱相交部分截出來的牟合方蓋，這玩意的體積的確不好求，它不規則。

朱載堉才繼續說道：“1000多年前，祖沖之的兒子祖暅解決了這個問題。”

“它將牟合方蓋切成了八個小牟合方蓋，然后截開，利用勾股定理等計算，將小牟合方蓋減掉1/8球的體積，轉化為了一個方錐的體積，得到方錐體積，就能得到小牟合方蓋的體積為2r/3，大牟合方蓋的體積為16r/3，球的體積等于4πr/3，解決了這個問題。”

“等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，祖暅用這個方法，解決了圓錐體積公式，陛下這個很難理解。”

朱翊鈞則是笑著說道：“緣冪勢既同，則積不容異，不是很難理解。”

小皇帝稍微思考了下，拿出了鉛筆，稍微畫了兩下，讓張宏下去準備，沒一會兒張宏拿過來了一個圓柱體，和一堆的銀幣。

“這是泰西來的銀幣，這是和銀幣底面半徑相等的圓柱體。”朱翊鈞將銀幣隨意摞了起來，笑著說道：“它們體積相等，求圓柱體體積就是求銀幣的體積之和。”

張居正和朱載堉互相看了一眼，再看著摞在一起的銀幣和圓柱體，只能說，數學這件事上，似乎從來沒有難住過陛下，陛下總是能夠精準的理解這些內容。

朱載堉在講什么？講的是積分，無窮求和。

微分，是無窮切割，積分就是無窮求和，微分和積分互逆運算，就是微積分。

大明在數學領域，完全有資格進行考古式科研，能把一千多年前的數學原理搗鼓明白，大明的算學就已經，完完全全站在了世界的頂端。

“皇叔，是這樣嗎？”朱翊鈞笑著說道。

朱載堉俯首說道：“是這樣的，陛下英明。”

“難道僅僅這樣嗎？不能更進一步嗎？”朱翊鈞接著說道。

更進一步？朱載堉陷入了一些迷茫之中，還如何再進一步呢？他缺少一個數學工具才能再進一步。

“慢慢來就是了。”朱翊鈞站起來，笑著說道：“皇叔鉆研有方，重重有賞！”

考古式科研，不是什么不可以接受的事兒，無窮求和的概念，能夠解決許多的現實問題，比如如火如荼的清丈，測量不規則圖形面積的問題，就可以用到這種思想。

將一個不規則的圖形，切割成以步為寬的小矩形，在步的左側建立一個小矩形，在步的右側建立一個小的矩形，步左和步右的矩形面積之和除以二，得到不規則田畝的面積，這個方法，在實際清丈中，運用的爐火純青。

“陛下，程大位有丈量步車獻上。”朱載堉其實對恩賞并不是很看重，他對這些身外之物，向來不怎么在意，要不然也不能在王府外的土房子里，一住就是十幾年了。

朱載堉更加在乎，自己的志向能夠達成，而且正在一步步的達成，陛下對他的科研工作的支持，就三個字，無上限，要什么給什么。

“丈量步車？”朱翊鈞本來以為今天的算學已經結束，沒想到還有大貨在等著他，他滿是笑意的說道：“快快呈上來。”

程大位將一輛丈量步車推了上來，將一本書遞給了張宏。

這本書上是關于丈量步車的詳細記錄，完整的零件圖、總裝圖、設計說明和改型說明，這是精確記錄，度數旁通的成果，也就是說，只需要將這本書發下去，大明各地就可以利用這本書里的設計，大量制造丈量步車，測量大明田畝數量。

這東西說復雜看起來的確復雜，木制的外套、十字架，竹制的篾尺，鐵制的轉心、鉆腳和環等部件組成，但其實就是后世用的卷尺。

程大位介紹著自己的丈量步車說道：“古者量田較闊長，全憑繩尺以牽量，所需人力極多，而且差錯極大，不能精確。通過轉動實現尺體的收放，蔑尺之上，逐寸寫字，每寸為二厘；五寸為一分；五尺為一步，依次而增，至三十步以上或四十步以下可止，篾上用明油油之，字不易脫落，還容易清洗。”

五尺為步，步二百四十為畝，畝百為頃。

“好物，好物。”朱翊鈞看著面前的卷尺，不住的點頭說道：“先生，刊刻后送到南衙清丈使用可好？”

“臣遵旨。”張居正俯首說道。

卷尺的應用，將會大大的加快大明清丈，厘清天下田畝的具體數量，將已經近兩百年未曾動過的魚鱗冊，好好核算清楚明白。

洪武二十六年，全國共核查出土地850萬頃，大約有八億五千萬畝地，到了后來，這個魚鱗冊，圖冊已紊亂失實，在明孝宗弘治十五年后，全國登記在冊的土地只有422萬頃，一百零九年的時間里，減少了一半。

孝宗之后，422萬頃這個嚴重失真的田畝數，一直是大明正賦的標準田冊，而張居正要做的就是搞清楚天下田畝到底有多少，搞清楚天下田畝到底在誰的手里，田在誰手里，就問誰征稅。

在原來的歷史線里，張居正在萬歷九年將天下除河南的田畝全部清丈完畢，共計7013976頃，并且成為了后來的收稅底冊，這也是萬歷皇帝能夠胡作非為的底氣。

把田畝在誰手里搞清楚，張居正死后，不被清算才是怪事。

朱翊鈞離開文化殿偏殿的時候，對著身邊的張居正低聲說道：“先生，請一定要保護好自己。”

張居正再俯首，向著文淵閣走去，張居正一邊走一邊思考問題，他要考慮考成法的糊名制度的漏洞，要考慮清丈過程中的種種姑息，要考慮土蠻諸部的蠢蠢欲動，要考慮西北族黨會不會和俺答汗真正的走到一起…他要考慮很多很多，先帝將帝國和小皇帝交到他的手里，他要在還政的那天，將一個鼎盛的大明朝還給陛下。

而他并沒有注意到，小皇帝在看他。

而朱翊鈞看著文淵閣那迥異的黑色琉璃瓦，一直看著張居正走進了文淵閣內，小皇帝歪著頭對張宏說道：“張大伴，你說先生到底圖什么呢？”

張宏搖了搖頭說道：“陛下這個問題，估計也是廷臣、朝臣、天下勢要豪右、權豪縉紳們心中盤亙不去的問題，先生到底圖什么呢？”

“臣嘗思索，只得到了一個答案，那就是：報先帝、而忠于陛下之職分也。”

朱翊鈞平靜的說道：“先生想做諸葛孔明，有些人不想讓他做，沒事，牛鬼蛇神盡管前來，大不了，就把這天下燒的干干凈凈便是。”

在文淵閣內處理帝國政務的張居正猛地打了個哆嗦，看向了文華殿的方向，總覺得剛才一陣心悸。

“東北戰事再起，西北仍有族黨之虞。”呂調陽將一本奏疏貼上了空白浮票。

這又是一本彈劾張居正的奏疏，彈劾的內容還是老調重彈的張居正威震主上，只是參加廷議的呂調陽非常清楚，這幫人心里根本沒數，真的把張居正給彈劾倒臺了，小皇帝當政，局面只會更加糟糕。

看看之前禮部尚書陸樹聲致仕，小皇帝一句話沒跟陸樹聲說，今天張翰一說致仕，陛下立刻答應，不是張居正從中周旋，怕是張翰現在已經滾蛋回家了。

張居正滿是玩味的說道：“王崇古當家，張四維就作不了什么亂。”

“哦？元輔的意思是，這次張四維遇害，是王崇古干的？”呂調陽稍微斟酌了一下張居正的話，立刻品出了幾分不同，對于張四維被人下毒，到底是誰下的手，眾說紛紜，高拱的嫌疑最大。

讓呂調陽意外的是，居然沒人懷疑張居正下的手，這就是張居正最可怕的地方，張居正不用陰謀詭計，就可以大獲全勝。

“這可是你說的，不是我說的。”張居正沒有做出正面回應，但是他卻是知道，是王崇古對張四維下手了。

游七的人脈很廣，廣到知道到底是誰做這些事，游七也大約知道了張府那個庖廚，逃亡了四川，但是逃到了哪里，就完全不知道了。

呂調陽聽聞也是嗤笑一聲說道：“真的是，狗咬狗一嘴毛，小人傾軋果然是不堪入目。”

“也不是小人吧，我覺得是張四維的一些行為，惹惱了王司寇，要不然王司寇也不會對自己的親戚下手，那可是他親外甥，他這不是被逼的沒辦法了嗎？”張居正知道到底是什么行為激怒了王崇古動手。

張四維買通了他的庖廚，也買通了陛下的庖廚，而這兩個庖廚一個是張居正拋出去的餌料，一個是陛下拋出去的餌料，張居正知道的時候，人都麻了。

真的是自己教出來的徒弟，手段都是一模一樣的。

張居正在文淵閣當值，讓人給王崇古送了一份請帖，請王崇古過府一敘，他要和王崇古好好談談。

王崇古收到了請帖的時候，知道張居正找他到底何事，東北戰事。

張居正回到全楚會館的時候，王崇古已經早早來到了全楚會館等候，張居正和王崇古互相寒暄了一番后，張居正不再兜兜轉轉，說起了正事：“東北有大仗發生，我不希望西北出現邊釁，能做到嗎？”

“羊毛官廠這一成的利有多厚，想來王司寇是很清楚了，朝廷不是不許賺錢、發財，銀子嘛，的確是個好東西，但是君子愛財取之有道，既然王司寇和西北北虜關系密切，這件事辦妥當，朝廷只會恩厚慶賞。”

羊毛官廠設在京畿，而不是西北，這就是朝廷牽著西北的一條狗鏈子，狗不聽話了，就可以勒緊下，讓北虜知道到底誰才是主，誰才是仆。

王崇古也沒有猶豫，立刻說道：“元輔既然把話講的這么透徹，我也把話講明白些，能做到，至少兩年內，不會出問題，兩年后，就不知道了，張四維蠢貨一個。”

現在西北是吳兌當家了，兩年后的局勢，王崇古如何敢保證？他現在敢保證，是他在西北仍然擁有著絕對的影響力和決策權，所以王崇古才罵張四維蠢，把他弄到京師來，是最愚蠢的一步棋。

這是第一個共識，大明眼下恢復的元氣，不足以支持大明兩線作戰，東北西北同時開打，對于大明而言，還是負擔實在是太大了，王崇古和張居正達成了第一個共識。

張居正笑著說道：“兩年后，京營就成了，北虜最好老老實實的，無論打成什么樣，大明的羊毛官廠，都需要羊毛不是？”

“沒錯，結果如何，大明都需要羊毛，我只會越賺越多。”王崇古能夠完全聽明白張居正里的話。

這是第二個共識，王崇古不挾寇自重，威逼朝廷，那從西北買羊毛的錢，王崇古可以一直賺下去。

在這兩個共識的前提下，剩下的才好繼續談。

“但是陛下呢？”王崇古問了一個至關重要的問題，皇帝是什么態度？這才是關鍵的，張居正答應了，陛下不答應，也不能長久。

張居正面色凝重的說道：“這得看王司寇了，刺王殺駕案，王司寇有沒有參與其中？若是沒有，陛下翻起舊賬來，不會瓜蔓的，若是王司寇參與其中，那就得看陛下的意思了。陛下總會大婚、親政的。”

“君臣之間，是相互的，王司寇若是不想當陛下的臣子，大明的臣子，陛下當然威罰，但話說回來，陛下總不會無故傷害元氣大臣，今日廷議，王希元明明已經掌握了張翰的確鑿證據，要不是張翰給臉不要臉，陛下豈會讓我繼續追擊？”

張翰在廷議上，之所以會那么的狼狽，可不是張居正威逼過甚，也不是小皇帝薄涼寡恩，已經很給張翰面子，張翰反復不同意糊名之法，這才有了后面指名道姓的追擊。

臉都是互相給的，王崇古給陛下面子，陛下怎么可能無緣無故的傷害臣子？

“刺王殺駕案里面沒有我，可是張四維的九族里有我啊，唉。”王崇古靠在椅背上，頗為絕望的說道：“張四維能做到這些事兒，還不是我這個舅舅給他撐腰，他才能做？”

“誰的問題就是誰的問題，王司寇多慮了。”張居正還是寬慰了一句。

張居正看王崇古仍然是極為擔憂，想了想還是開口說道：“陛下這個人其實不復雜，一眼看穿，對大明而言，利大于弊，陛下就會慶賞；弊大于利，陛下就會威罰。這就是陛下心中衡量臣子是否能留用的標準。”

“陛下之所以同意王司寇回朝，也是如此道理，王司寇在西北堵了長城鼎建的窟窿，安置了十九萬的百姓，這些功勞陛下都看在眼里，至于謀利嘛，的確是弊端，但王司寇已經利大于弊，那陛下自然同意王司寇回朝了。”

有些話還是當面說清楚，才不至于小人在中間搖唇鼓舌的離間君臣，王崇古回到西北這兩年，的的確確做到了安土牧民，利大于弊的臣子，陛下就會慶賞。

王崇古心里的那塊石頭，終于落了地，他俯首說道：“謝元輔指點迷津啊，小人長戚戚，我這個小人，最是擔憂了。”

張居正笑著說道：“王司寇言重了，陛下清楚的知道，人都是因勢而動的，彼時西北戰亂，東南倭患，天下疲憊，議和貢市，就是止損的最好辦法，有些事兒，王司寇也是身不由己不是？陛下登基以來，王司寇所做作為，還是利大于弊的，這就夠了。”

小皇帝明事理，是張居正這幾年來輕松的最大原因，天下，沒有能難得到他的問題。

能讓他為難的，就只有陛下了，蒙在張居正心頭的只有兩片烏云，小皇帝不務正業，小皇帝讀書太好。

這兩個烏云的面目越來越猙獰。

張居正和王崇古就西北邊方問題進行了深入的交流，雙方就邊方安全問題，達成了普遍共識。

王崇古從全楚會館離開的時候，心情好了不少，朝廷要的不是很多，王崇古完全能夠滿足，走著走著，王崇古想到了張四維，心情立刻變得很差。

張居正手里有一摞的銀幣，還有一個圓柱體，他不停的將銀幣不停的落下，他在思索一個問題，無窮切割和無窮求和，能不能相互轉換計算，如果解決了這個問題，很多的工程問題，就可以迎刃而解了。

求即時速度、求曲線的切線、求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心。

這些都是非常明確的現實問題，具有普遍的現實意義。

張居正不信任任何人，寶岐司種甘薯，他要自己種，怕有人蒙蔽；三棱鏡分解光，他要親自驗證，甚至連番薯淀粉的制備，他都要試一試，他同樣不信任朱載堉，一個衣食無憂的藩王世子，并沒有充足的動力去解決現實問題。

當然朱載堉一再反復證明，他作為皇叔，回朝并不是光吃飯不干活，考古式的算學研究，也是研究成果。

張居正在萬物無窮之理中遨游，慢慢的一點點的推演，慢慢的回到了現實，看著游七問道：“何故如此驚慌？”

“陛下讓馮大珰從宮里傳來了消息，何心隱，必須要將其追索歸案，不得延誤，天涯海角，都要拿住，必要時可以讓緹騎海捕搜索。”

張居正有些驚訝的問道：“何心隱干了什么事兒，讓陛下如此生氣？”

游七滿臉感嘆的說道：“何心隱污蔑了先生，陛下雷霆大怒。”

“污蔑？”張居正從游七手中拿過了紙條，看了半天，臉上的表情，那真的是復雜至極。

何心隱污蔑張居正黑心宰相臥龍床，編排張居正和李太后的關系，寡婦門前是非多，皇家也概莫能外。張居正年輕的時候，也是十里八鄉的俊后生，說媒的人，能把張居正家里的門檻踏破，再加上養尊處優這么多年，張居正的確是有男主角的資本。

之前李太后訓斥小皇帝的時候，喜歡說：張先生要是知道了，如何得了？

換一個角度去看，家里的母親在訓斥孩子的時候，都喜歡拿父親去威脅，就像是在說：莫淘氣，不然要你老子打伱！

何心隱太小瞧禮教森嚴這四個字了，皇帝走路不走四方步都要被言官連章上奏的禮教森嚴。

游七不明所以的說道：“這些個賤儒們，編排人的時候，怎么那么喜歡往下三路去？他們自己那樣，別人就要跟他們一樣嗎？一群賤胚子！就該送到解刳院里，把心肝脾胃都解剖出來看看！”

張居正笑著說道：“找不到別的污蔑了，何心隱總不能說，我張居正當國，干得不好吧，干得好不好，那不是有目共睹的嗎？”

朝廷存在的目的就是調節社會的主要矛盾，當下大明的社會主要矛盾，就是國窮兵不強，小民困于兼并，張居正有效的調節了主要矛盾，當國就做得很好，言官們彈劾主要集中在張居正的個人道德問題上。

對于一個政治人物，彈劾他的個人道德，是沒辦法把張居正給扳倒的。

“下三濫的賤儒，也就會這招了，你看，這種糟爛事，你還沒辦法反駁，奸字一張口，越描越黑，汪道昆之前被彈劾強淫民女，汪道昆那是一萬張嘴說不清。”張居正也是搖頭，下三濫的賤儒污蔑人的時候都喜歡奔著下三路而去，是有一定存在的道理的。

這件事最關鍵的問題，是小皇帝信不信。

朱翊鈞對這件事就一個態度，那就是抓到就送解刳院去！

稽稅千戶駱秉良收到了來自京師的嚴格命令，務必將何心隱抓回京師。

駱秉良收到詔書，直接帶著緹騎，包圍了南衙崇正書院，將督學御史耿定向、焦竑叫了出來，只要耿定向不說實話，駱秉良就會把整個崇正書院一把火給點了，反正現在南衙地面，都把駱秉良叫做閻羅王的勾魂使，名聲再差，還能差到哪里去？

駱秉良也不在意，他兒子駱思恭在皇宮里天天打皇帝，這么大逆不道的事兒都干了，還怕其他的？

緹騎這個半內半外的衙門，主要看跟陛下的親疏遠近，只要陛下下的命令，駱秉良就會堅決執行。

“莫要自誤，五毒之刑之苦，絕對不是耿御史能夠承受的，若是惹惱了陛下，出身崇正書院的學子都不得參加科舉，你的弟子也受連累。”駱秉良看著耿定向，語氣平靜的說出了威脅的話。

南衙地面，都說焦竑有狀元之資，若是不能參加科舉，那對耿定向而言，還不如殺了他痛快。

耿定向和何心隱確實是有些關系，都是泰州學派之人。

耿定向一聽打了個哆嗦，也沒含糊直接說道：“在湖廣孝感的程學博弟弟家中。”

在之前崇正書院的集會中，耿定向就表現出了其軟弱性，反復跟陸光祖說，還是交稅的好，這不一聽緹騎威脅，立刻馬上沒有猶豫的的交待了。

緹騎知道了何心隱的去處，只用了三天，就直接把何心隱給抓了，乘快船送到了松江府，扔上了水翼帆船，直接送入京師。

今天這章寫了兩次，我想解釋清楚祖暅定理，寫了四千多字的祖暅[gèng]定理的內容，包括了圓錐、球體、球的面積公式，祖暅領先了一千多年，一直到十七世紀卡瓦列利才搞清楚了這個問題。但是寫完了發現，實在是晦澀難懂。最后反復斟酌，刪掉了絕大多數。所以更新的有點晚了，求